Задача 2. Решите в целых числах уравнение \(3x+5y=1\).

Выразим \(x\):

\(3x=1-5y\), поэтому \(x=\frac{1-5y}{3}\).

Чтобы \(x\) было целым, числитель \(1-5y\) должен делиться на 3. Получаем сравнение:

\(1-5y\equiv0\pmod3\), то есть \(y\equiv2\pmod3\).

Общее решение можно записать так: \(y=2+3k\), где \(k\in\mathbb Z\). Тогда

\(x=\frac{1-5(2+3k)}{3}=-3-5k\).

Ответ: \(x=-3-5k,\ y=2+3k,\ k\in\mathbb Z\).