Задача № 2. В прямоугольнике EFGH точка N лежит так, что FN = 2NG, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы EN, HO, NO через векторы \(\vec x=\overrightarrow{EF}\) и \(\vec y=\overrightarrow{EH}\).

В прямоугольнике \(\overrightarrow{FG}=\vec y\), а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

1. Из \(FN=2NG\) следует, что \(\overrightarrow{FN}=\frac23\overrightarrow{FG}=\frac23\vec y\). Поэтому \(\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FN}=\vec x+\frac23\vec y\).
2. Точка \(O\) — середина диагонали \(EG\), значит \(\overrightarrow{EO}=\frac12(\vec x+\vec y)\). Тогда \(\overrightarrow{HO}=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EO}=-\vec y+\frac12(\vec x+\vec y)=\frac12\vec x-\frac12\vec y\).
3. \(\overrightarrow{NO}=\overrightarrow{NE}+\overrightarrow{EO}=-\left(\vec x+\frac23\vec y\right)+\frac12(\vec x+\vec y)=-\frac12\vec x-\frac16\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{EN}=\vec x+\frac23\vec y\), \(\overrightarrow{HO}=\frac12\vec x-\frac12\vec y\), \(\overrightarrow{NO}=-\frac12\vec x-\frac16\vec y\).