Задача № 3. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 8 см, боковая сторона — 10 см, а диагональ равна 14 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Обозначим большее основание через \(B\). Горизонтальная проекция боковой стороны равна \(\frac{B-8}{2}\), а горизонтальная проекция диагонали — \(\frac{B+8}{2}\). Пусть высота трапеции равна \(h\).

1. По теореме Пифагора для боковой стороны: \(h^2+\left(\frac{B-8}{2}\right)^2=10^2\).
2. Для диагонали: \(h^2+\left(\frac{B+8}{2}\right)^2=14^2\).
3. Вычитаем первое равенство из второго, чтобы исключить \(h^2\): \(\left(\frac{B+8}{2}\right)^2-\left(\frac{B-8}{2}\right)^2=196-100=96\). Левая часть равна \(8B\), поэтому \(8B=96\), откуда \(B=12\) см.
4. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(\frac{8+12}{2}=10\) см.

Ответ: 10 см.