Задача 3. Даны координаты трех вершин параллелограмма \(ABCD\): \(A(1; 1; 1)\), \(B(2; 3; 4)\), \(C(5; 4; 2)\). Найдите координаты четвертой вершины \(D\). (Подсказка: используйте равенство векторов \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).)

Найдём вектор \(\overrightarrow{AB}\):

\(\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1;\,3-1;\,4-1)=(1;\,2;\,3)\).

По условию \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\), то есть \(C-D=(1;\,2;\,3)\). Следовательно, \(D=C-\overrightarrow{AB}\).

\(D=(5-1;\,4-2;\,2-3)=(4;\,2;\,-1)\).

Ответ: \(D(4;\,2;\,-1)\).