Задача 4* (на 5-ку). Найдите угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$, если известно, что векторы $\vec m=\vec a+2\vec b$ и $\vec n=5\vec a-4\vec b$ взаимно перпендикулярны, а $|\vec a|=|\vec b|=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задача 4* (на 5-ку). Найдите угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$, если известно, что векторы \(\vec m=\vec a+2\vec…$ Фото задания

Задача 4* (на 5-ку). Найдите угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$, если известно, что векторы $\vec m=\vec a+2\vec b$ и $\vec n=5\vec a-4\vec b$ взаимно перпендикулярны, а $|\vec a|=|\vec b|=1$.

Accepted Answer

Так как $\vec m\perp\vec n$, их скалярное произведение равно нулю:

$(\vec a+2\vec b)\cdot(5\vec a-4\vec b)=0$.

Раскроем скалярное произведение, используя его линейность:

$5|\vec a|^2-4(\vec a\cdot\vec b)+10(\vec b\cdot\vec a)-8|\vec b|^2=0$.

Поскольку $|\vec a|=|\vec b|=1$ и $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\varphi=\cos\varphi$, получаем $5-4\cos\varphi+10\cos\varphi-8=0$.

Отсюда $6\cos\varphi-3=0$, значит, $\cos\varphi=\frac12$. Угол между векторами лежит в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, поэтому $\varphi=60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Задача 4* (на 5-ку). Найдите угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\), если известно, что векторы \(\vec m=\vec a+2\vec b\) и \(\vec n=5\vec a-4\vec b\) взаимно перпендикулярны, а \(|\vec a|=|\vec b|=1\).

Ответ: