Задача 3. Пусть имеем две функции: y=2x-x², x+y = 0. И нам надо найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями.

1. Найдем точки пересечения: y = -x. Подставляем в уравнение параболы: -x = 2x - x² => x² - 3x = 0 => x(x-3) = 0. Точки пересечения: x = 0 и x = 3.

2. Площадь фигуры над осью абсцисс (от 0 до 2) вычисляется как интеграл от функции y = 2x - x²: ∫[0, 2] (2x - x²) dx = [x² - x³/3] от 0 до 2 = (4 - 8/3) - 0 = 4/3.

3. Площадь фигуры под осью абсцисс (от 0 до 3) вычисляется как интеграл от функции y = -x: ∫[0, 3] (-x) dx = [-x²/2] от 0 до 3 = -9/2. Площадь треугольника ОАС равна 9/2. Площадь фигуры АВС (интеграл от 2 до 3) равна ∫[2, 3] (2x - x²) dx = [x² - x³/3] от 2 до 3 = (9 - 9) - (4 - 8/3) = -4/3. Общая площадь = 4/3 + 9/2 - 4/3 = 9/2 = 4.5.