Задача 4: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x² + x + 4 и y = -x + 1.

1. Найдем точки пересечения: -x² + x + 4 = -x + 1 => -x² + 2x + 3 = 0 => x² - 2x - 3 = 0 => (x-3)(x+1) = 0. Точки пересечения: x = -1 и x = 3.

2. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней (парабола) и нижней (прямая) функций по найденным границам: ∫[-1, 3] ((-x² + x + 4) - (-x + 1)) dx = ∫[-1, 3] (-x² + 2x + 3) dx.

3. Вычисляем интеграл: [-x³/3 + x² + 3x] от -1 до 3 = (-27/3 + 9 + 9) - (1/3 + 1 - 3) = (-9 + 18) - (1/3 - 2) = 9 - 1/3 + 2 = 11 - 1/3 = 32/3.