Задача 3. \(x(t)=6t-3t^2\) (в системе СИ). Шарик катится по прямолинейному желобу. 1. Найдите \(s\) за первые 6 секунд. 2. Найдите \(x\) при \(t=6\) с.

Скорость шарика \(v(t)=x'(t)=6-6t\) м/с. Она обращается в ноль при \(t=1\) с, значит, в этот момент шарик меняет направление.

1. За первую секунду координата меняется от \(x(0)=0\) до \(x(1)=6-3=3\) м: пройденный путь равен 3 м. За следующие 5 секунд координата меняется от 3 м до \(x(6)=6\cdot6-3\cdot6^2=-72\) м: пройденный путь равен \(|-72-3|=75\) м. Поэтому общий путь \(s=3+75=78\) м.
2. Координата через 6 с: \(x(6)=36-108=-72\) м.

Ответ: за первые 6 с шарик прошёл 78 м; его координата при \(t=6\) с равна −72 м.