Задача 4. DEKN — параллелограмм. Точка F лежит на EK, точка O лежит на DN; прямые FO, EN и DK пересекаются в точке R. Доказать: EF = ON.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(ER=RN\). Кроме того, \(EF\parallel ON\), так как это части противоположных сторон параллелограмма, а точки \(E,R,N\) и \(F,R,O\) лежат соответственно на одной прямой.

1. В треугольниках \(ERF\) и \(NRO\) углы \(ERF\) и \(NRO\) равны как вертикальные.
2. Углы \(REF\) и \(RNO\) равны как соответственные при параллельных прямых \(EF\parallel ON\).
3. Следовательно, треугольники \(ERF\) и \(NRO\) подобны.
4. Из подобия \(\frac{EF}{ON}=\frac{ER}{RN}\). Поскольку \(ER=RN\), получаем \(\frac{EF}{ON}=1\), то есть \(EF=ON\).

Доказано: \(EF=ON\).