Задача 4. На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002. Какие числа остались на доске?

Пусть десять последовательных чисел имеют вид \(n,n+1,\ldots,n+9\). Их сумма равна \(10n+45\).

После стирания одного числа сумма стала 2002, поэтому сумма всех десяти чисел больше 2002 на стёртое число \(n+k\), где \(0\le k\le9\):

\(10n+45-(n+k)=2002\),

\(9n+45-k=2002\),

\(9n-k=1957\).

Так как \(k\) находится от 0 до 9, число \(1957+k\) должно делиться на 9. Поскольку \(1957\equiv1\pmod 9\), получаем \(k=8\). Тогда

\(n=\frac{1957+8}{9}=\frac{1965}{9}=218\).

Изначально были числа от 218 до 227, стёрли число \(218+8=226\).

Ответ: на доске остались числа 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 227.