Задача 4. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что AM = CN. Докажите, что треугольник MBN также является равнобедренным.

Рассмотрим треугольники ABM и CBN.

1. AB = BC, так как ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC.

2. AM = CN по условию.

3. ∠BAM = ∠BCN: это углы при основании равнобедренного треугольника, поскольку M и N лежат на AC.

Следовательно, треугольники ABM и CBN равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому BM = BN. Значит, треугольник MBN равнобедренный.