Задача 4. Одна сторона треугольника на 2 см больше другой, а угол между этими сторонами равен 120°. Третья сторона треугольника равна 14 см. Найдите длины двух неизвестных сторон и периметр треугольника.

Пусть меньшая из двух неизвестных сторон равна \(x\) см, тогда другая равна \(x+2\) см. По теореме косинусов для стороны 14 см:

\(14^2=x^2+(x+2)^2-2x(x+2)\cos120^\circ\).

Поскольку \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем:

\(196=x^2+(x+2)^2+x(x+2)=3x^2+6x+4\).

\(3x^2+6x-192=0\), то есть \(x^2+2x-64=0\).

Решения: \(x=-1\pm\sqrt{65}\). Отрицательное значение не подходит как длина, поэтому \(x=\sqrt{65}-1\) см, а вторая сторона равна \(\sqrt{65}+1\) см.

Периметр:

\(P=14+(\sqrt{65}-1)+(\sqrt{65}+1)=14+2\sqrt{65}\) см.

Ответ: неизвестные стороны — \(\sqrt{65}-1\) см и \(\sqrt{65}+1\) см; периметр — \(14+2\sqrt{65}\) см.