Задача №4. Решите систему уравнений методом Крамера: \(\begin{cases}3x-y=5,\\2x+3y=4.\end{cases}\)

Главный определитель матрицы коэффициентов:

\[\Delta=\begin{vmatrix}3&-1\\2&3\end{vmatrix}=3\cdot3-(-1)\cdot2=11.\]

Так как \(\Delta\ne0\), система имеет единственное решение. По правилу Крамера:

\[\Delta_x=\begin{vmatrix}5&-1\\4&3\end{vmatrix}=5\cdot3-(-1)\cdot4=19,\qquad \Delta_y=\begin{vmatrix}3&5\\2&4\end{vmatrix}=3\cdot4-5\cdot2=2.\]

Следовательно, \(x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{19}{11}\), \(y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{2}{11}\).

Проверка: \(3\cdot\frac{19}{11}-\frac{2}{11}=5\), а \(2\cdot\frac{19}{11}+3\cdot\frac{2}{11}=4\).

Ответ: \(\left(x,y\right)=\left(\frac{19}{11},\frac{2}{11}\right)\).