Задача 4. (Средний уровень) На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что AM = CN. Докажите, что треугольник MBN также является равнобедренным.

Доказательство.

1. В треугольнике ABC боковые стороны равны: \(AB = CB\). Углы при основании также равны: \(\angle BAC = \angle BCA\).
2. Так как M и N лежат на основании AC, имеем \(\angle BAM = \angle BCN\). По условию \(AM = CN\).
3. Следовательно, треугольники ABM и CBN равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Из равенства треугольников следует, что \(BM = BN\). Значит, треугольник MBN равнобедренный.