Задача 4. В треугольнике ABC AB = 6 см, BC = 10 см, ∠B = 30°. Найдите площадь треугольника и радиус описанной окружности.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\dfrac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B=\dfrac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=15\text{ см}^2\).

Найдём сторону \(AC\) по теореме косинусов:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B=36+100-120\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=136-60\sqrt3\).

Значит, \(AC=\sqrt{136-60\sqrt3}\) см. По формуле площади через радиус описанной окружности, \(S=\dfrac{AB\cdot BC\cdot AC}{4R}\). Отсюда \(R=\dfrac{6\cdot10\cdot AC}{4\cdot15}=AC\).

Ответ: площадь \(15\text{ см}^2\), радиус описанной окружности \(\sqrt{136-60\sqrt3}\) см (примерно 5.89 см).