Задача 4. В треугольнике ABC известно, что AB = 10 см, BC = 14 см и угол ABC = 120°. а) Найдите длину стороны AC. б) Найдите синус угла BAC.

а) Найдём AC.

По теореме косинусов:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos120^\circ\).

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем:

\(AC^2=10^2+14^2-2\cdot10\cdot14\cdot(-\frac12)=100+196+140=436\).

Следовательно, \(AC=\sqrt{436}=2\sqrt{109}\) см.

б) Найдём синус угла BAC по теореме синусов:

\(\frac{\sin A}{BC}=\frac{\sin B}{AC}\), поэтому \(\sin A=\frac{14\sin120^\circ}{2\sqrt{109}}\).

Поскольку \(\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), имеем \(\sin A=\frac{7\sqrt3}{2\sqrt{109}}\).

Ответ: а) \(AC=2\sqrt{109}\) см; б) \(\sin\angle BAC=\frac{7\sqrt3}{2\sqrt{109}}\).