Задача 4. В треугольнике KLM известно, что сторона KL = 6 см, сторона KM = 9 см, а угол LKM = 60°. а) Найдите длину стороны LM. б) Найдите синус угла KLM.

а) Найдём LM по теореме косинусов:

\[LM^2=KL^2+KM^2-2\cdot KL\cdot KM\cos\angle LKM.\]

\[LM^2=6^2+9^2-2\cdot6\cdot9\cdot\cos60^\circ=36+81-54=63.\]

Значит, \(LM=\sqrt{63}=3\sqrt7\) см.

б) Найдём синус угла KLM. По теореме косинусов:

\[\cos\angle KLM=\frac{KL^2+LM^2-KM^2}{2\cdot KL\cdot LM}=\frac{36+63-81}{2\cdot6\cdot3\sqrt7}=\frac{1}{2\sqrt7}.\]

Используем тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Угол треугольника острый, поэтому его синус положителен:

\[\sin\angle KLM=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2\sqrt7}\right)^2}=\sqrt{\frac{27}{28}}=\frac{3\sqrt{21}}{14}.\]

Ответ: а) \(3\sqrt7\) см; б) \(\frac{3\sqrt{21}}{14}\).