Задача 4. Внутри развернутого угла AOB выбрали лучи OD и OC таким образом, что угол AOC втрое больше угла BOD. Докажите, что угол между биссектрисами углов AOD и DOC равен углу BOD.

Обозначим \(\angle BOD=x\). Условие задачи: \(\angle AOC=3x\). Поскольку \(\angle AOB=180^\circ\), имеем \(\angle AOD=180^\circ-x\).

Рассмотрим направления лучей внутри развернутого угла, отсчитывая их от луча OA. Пусть направление OD составляет \(\theta=180^\circ-x\), а направление OC — \(\varphi=3x\). Оба направления лежат между \(0^\circ\) и \(180^\circ\).

Биссектриса угла AOD имеет направление \(\theta/2\). Биссектриса угла DOC находится посередине между направлениями OC и OD, то есть имеет направление \((\theta+\varphi)/2\), независимо от того, какой из этих лучей расположен ближе к OA.

Следовательно, угол между биссектрисами равен \(\left|(\theta+\varphi)/2-\theta/2\right|=\varphi/2=3x/2\). Это не равно \(x\) при общем значении \(x\), поэтому утверждение задачи при условии «втрое больше» неверно. Например, при \(x=30^\circ\) получаются \(\angle BOD=30^\circ\), \(\angle AOC=90^\circ\), а угол между биссектрисами равен \(45^\circ\).

Для указанного утверждения условие должно быть «угол AOC вдвое больше угла BOD»: тогда угол между биссектрисами равен \((2x)/2=x=\angle BOD\).