Задача 5 (на доказательство). Докажите, что четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.

Пусть E, F, G и H — середины сторон AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD соответственно.

1. В треугольнике ABC отрезок EF соединяет середины сторон AB и BC. По теореме о средней линии треугольника EF ∥ AC и EF = AC/2.
2. В треугольнике ADC отрезок HG соединяет середины сторон AD и DC. Поэтому HG ∥ AC и HG = AC/2.
3. Значит, EF ∥ HG и EF = HG. В четырёхугольнике EFGH одна пара противоположных сторон равна и параллельна.
4. Следовательно, EFGH — параллелограмм.

Доказано.