Задача 5. (Применение двух теорем) В треугольнике MKP сторона MK = 4 см, сторона KP = 5 см, а cos ∠K = 0.2. 1) Найдите сторону MP. 2) Найдите синус угла M (sin ∠M).

1) Найдём сторону MP.

По теореме косинусов \(MP^2=MK^2+KP^2-2\cdot MK\cdot KP\cdot\cos K\).

\(MP^2=4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cdot0.2=16+25-8=33\), поэтому \(MP=\sqrt{33}\) см.

2) Найдём синус угла M.

Так как угол K внутренний, \(\sin K=\sqrt{1-\cos^2K}=\sqrt{1-0.2^2}=\frac{2\sqrt6}{5}\).

По теореме синусов \(\frac{\sin M}{KP}=\frac{\sin K}{MP}\). Следовательно, \(\sin M=\frac{5\cdot\frac{2\sqrt6}{5}}{\sqrt{33}}=\frac{2\sqrt6}{\sqrt{33}}=2\sqrt{\frac{2}{11}}\).

Ответ: 1) \(MP=\sqrt{33}\) см; 2) \(\sin M=2\sqrt{\frac{2}{11}}\).