ЗАДАЧА № 6. ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, AB = BC = 12 м, AA₁ = 4 м. Найти площадь сечения BKPD, где K — середина B₁C₁, а P — середина C₁D₁.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(12; 0; 0), C(12; 12; 0), D(0; 12; 0), а верхние вершины имеют высоту 4 м.

Тогда K(12; 6; 4), P(6; 12; 4). Площадь четырёхугольника BKPD найдём как половину длины векторного произведения его диагоналей BP и KD.

\(\overrightarrow{BP}=(-6;12;4)\), \(\overrightarrow{KD}=(-12;6;-4)\).

\(\overrightarrow{BP}\times\overrightarrow{KD}=(-72;-72;108)\), поэтому площадь равна \(\frac12\sqrt{72^2+72^2+108^2}=18\sqrt{13}\).

Ответ: \(18\sqrt{13}\text{ м}^2\).