Задача 6. В королевстве живут графы, герцоги и маркизы. Однажды каждый граф сразился с тремя герцогами и несколькими маркизами. Каждый герцог сразился с двумя графами и шестью маркизами. Каждый маркиз сразился с тремя герцогами и двумя графами. Известно, что все графы сразились с равным числом маркизов. Со сколькими маркизами сразился каждый граф?

Обозначим количество графов через \(G\), герцогов через \(D\), а маркизов через \(M\).

Считаем пары поединков между графами и герцогами двумя способами: \(3G=2D\).

Считаем поединки между герцогами и маркизами: \(6D=3M\), откуда \(M=2D\).

Пусть каждый граф сразился с \(k\) маркизами. Число поединков графов с маркизами можно посчитать как \(kG\) или как \(2M\), поэтому \(kG=2M\).

Из \(3G=2D\) получаем \(G=\frac{2D}{3}\). Тогда \(k=\frac{2M}{G}=\frac{4D}{2D/3}=6\).

Ответ: каждый граф сразился с 6 маркизами.