Задача 6. В соревновании участвуют 6 команд. Известно, что в наборе их баллов наименьшее значение равно 40, размах равен 35, медиана равна 60, а среднее арифметическое равно 62. Какое наибольшее количество баллов могла набрать команда-победитель?

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями. Поэтому наибольшее количество баллов равно \(40+35=75\).

Условия о медиане и среднем арифметическом не противоречат этому результату: например, набор баллов 40, 60, 60, 60, 77, 75 после упорядочивания не подходит по размаху; однако достаточно проверить совместимость при максимуме 75. Сумма шести баллов должна быть \(6\cdot62=372\), а медиана 60 означает, что сумма двух средних значений равна 120. Например, набор 40, 59, 60, 60, 78, 75 невозможен из-за превышения максимума. Подходящий набор: 40, 60, 60, 60, 75, 77 также невозможен. Значит, проверим строго: при минимуме 40 и максимуме 75 сумма крайних равна 115, сумма четырёх средних должна быть 257; при медиане 60 два средних числа в сумме дают 120. Это возможно, например, для набора 40, 60, 60, 60, 60, 75: сумма 355, поэтому среднее не 62. При медиане 60 крайние ограничения дают максимальную сумму при четырёх внутренних числах не более 60, если второе и третье средние — 60; не хватает суммы.

Итак, приведённые условия несовместимы: при минимуме 40, размахе 35 и медиане 60 максимальная возможная сумма равна \(40+60+60+60+60+75=355\), тогда как среднее 62 требует сумму 372.

Ответ: такого набора баллов не существует, поэтому победитель не мог набрать количество баллов, удовлетворяющее всем данным условиям.