Задача 7.2. (4 балла) Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое максимальное число мог написать Петя?

Максимальное число — 9987598. Проверим суммы соседних цифр: \(9+9=18\), \(9+8=17\), \(8+7=15\), \(7+5=12\), \(5+9=14\), \(9+8=17\). Последние суммы повторяются — значит, такая запись не подходит. Правильный максимум: 9987597.

У него суммы соседних цифр равны \(18,17,15,16,14,16\), тоже есть повторение. Поэтому проверим оптимальную последовательность: 9987596. Суммы: \(18,17,15,16,14,15\) — снова повторение.

Для максимального числа первые цифры можно взять 9 и 9: сумма 18. Третья цифра не может быть 9, поэтому берём 8; следующая не может давать суммы 18 или 17, поэтому берём 7. Дальнейшие цифры нужно выбирать так, чтобы все суммы отличались. При этом максимум достигается числом 9987695: суммы соседних цифр — \(18,17,15,13,15,14\), что также содержит повторение.

Проверка показывает, что для семи цифр возможно не более пяти различных сумм, если первые цифры максимальны; однако в условии требуется шесть различных сумм. Нужен подбор последовательности, и максимальное число — 9987654: его суммы \(18,17,15,13,11,9\) все различны.

Любая последовательность, начинающаяся числом больше 9987654, при пошаговом выборе цифр неизбежно повторяет сумму соседних цифр. Следовательно, найденное число максимально.

Ответ: 9987654.