Задача 7.3. (4 балла) На прямой в некотором порядке расположены пять различных точек A, B, C, D и E. Известно, что AB = 4, BC = 7, CD = 11, DE = 16. Чему равно наименьшее возможное расстояние между A и E?

При движении от A к E каждое из расстояний между соседними по названию точками входит в сумму со знаком «плюс» или «минус» — в зависимости от порядка точек на прямой. Поэтому расстояние между A и E не меньше наименьшего модуля выражения \(\pm4\pm7\pm11\pm16\).

Можно получить значение \(4+7+11-16=6\), но это не минимум. Выберем знаки так: \(4+7+11-16=6\); другой вариант \(4-7+11-16=-8\). Проверим возможность получить 2: \(4+7-11+16=16\), а \(4-7+11-16=-8\). Минимум достигается при \(4+7+11-16=6\) или при \(4+7-11+16=16\) — расстояние не меньше 6.

Чтобы проверить все возможности, достаточно рассмотреть суммы подмножеств чисел \(4,7,11,16\). Полная сумма равна 38, а разность двух групп будет минимальна, если сумма одной группы ближе всего к 19. Ближайшая возможная сумма — 18 (\(7+11\)), поэтому разность равна \(|38-2\cdot18|=2\). Расставив точки так, чтобы соответствующие отрезки дали эту разность, получаем достижимое расстояние 2.

Ответ: 2.