Задача 7. Лестница длиной 4 м приставлена к гладкой вертикальной стене и опирается на шероховатый пол. Коэффициент трения между лестницей и полом μ = 0,4. Лестница образует с полом угол 60°. Может ли человек массой 70 кг подняться до самого верха лестницы, не вызвав её проскальзывания? Масса лестницы — 10 кг. Считайте, что стена гладкая (трения нет).

На лестницу действуют: её вес и вес человека вниз, реакция гладкой стены горизонтально, нормальная реакция пола вверх и сила трения пола горизонтально. В предельном равновесии сила трения равна \(F_{\text{тр}}=\mu N\).

Если человек находится на расстоянии \(s\) от нижнего конца вдоль лестницы, равновесие по вертикали даёт \(N=(10+70)g=80g\). Равновесие по горизонтали даёт реакцию стены \(R=F_{\text{тр}}\leq0{,}4\cdot80g\).

Запишем равновесие моментов относительно нижнего конца лестницы. Реакция стены действует на высоте \(4\sin60^\circ\); веса лестницы и человека имеют плечи соответственно \(2\cos60^\circ\) и \(s\cos60^\circ\):

\(R\cdot4\sin60^\circ=10g\cdot2\cos60^\circ+70g\cdot s\cos60^\circ\).

На пределе проскальзывания подставим \(R=0{,}4\cdot80g\) и сократим на \(g\): \(s=\frac{0{,}4\cdot80\cdot4\sin60^\circ-10\cdot2\cos60^\circ}{70\cos60^\circ}\approx2{,}88\) м.

До верхнего конца нужно пройти 4 м, а предельное расстояние составляет только около 2,88 м. Значит, при подъёме выше этого положения трения пола не хватит для удержания лестницы.

Ответ: нет, до самого верха подняться нельзя; предельное расстояние от нижнего конца лестницы — примерно 2,88 м.