Задача 9п.8. Прямоугольник с целочисленными длинами сторон имеет периметр 100. а) Чему могут быть равны длины сторон этого прямоугольника, если его площадь делится на 33? Найдите все варианты. б) Может ли площадь этого прямоугольника делиться на 81? в) Может ли площадь этого прямоугольника быть чётной, но не делиться на 8?

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\). Из периметра получаем \(2(a+b)=100\), поэтому \(a+b=50\).

а) Чтобы площадь \(ab\) делилась на 33, один из множителей должен делиться на 11. Сторона, кратная 11 и меньшая 50, может быть равна 11, 22, 33 или 44. Проверяем пары сторон с суммой 50: \((11,39)\), \((22,28)\), \((33,17)\), \((44,6)\). Площади первых, третьей и четвёртой пар делятся на 33: \(11\cdot39=429\), \(33\cdot17=561\), \(44\cdot6=264\). У второй пары площадь не делится на 3.

б) Число 50 не делится на 3, поэтому обе стороны не могут делиться на 3. Если произведение сторон делится на \(81=3^4\), одна из сторон должна делиться на 81, а другая — как минимум на 3. Но сторона, кратная 81, не может быть меньше 50. Значит, площадь не может делиться на 81.

в) Если площадь чётная, одна сторона чётная. Поскольку сумма сторон равна 50, вторая сторона тоже чётная. Тогда обе стороны имеют вид \(2x\) и \(2y\), где \(x+y=25\). Одно из чисел \(x,y\) чётное, поэтому произведение \(4xy\) делится на 8. Следовательно, площадь не может быть чётной и одновременно не делиться на 8.

Ответ: а) стороны 11 и 39; 17 и 33; 6 и 44. б) Нет. в) Нет.