Задача №5 * В трапецИИ ABCD BC и AD- основания трапеции. Найдите площадь трапеции ABCD, если АВ=13см, ВС=8см, CD=15см, AD=22см.

Для решения задачи необходимо найти высоту трапеции. Опустим высоты BK и CF на основание AD. Тогда AK + KF + FD = AD.

Так как BCFK - прямоугольник, KF = BC = 8 см.

Пусть AK = x, тогда FD = 22 - 8 - x = 14 - x.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABK и CDF. По теореме Пифагора:

$$BK^2 = AB^2 - AK^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2$$

$$CF^2 = CD^2 - FD^2 = 15^2 - (14 - x)^2 = 225 - (196 - 28x + x^2) = 29 + 28x - x^2$$

Так как BK = CF, то:

$$169 - x^2 = 29 + 28x - x^2$$

$$140 = 28x$$

$$x = 5$$

AK = 5 см, FD = 14 - 5 = 9 см.

$$BK = \sqrt{169 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$.

Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:

$$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BK = \frac{8 + 22}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$.

Ответ: 180 см²