15. Задача про вписанный многоугольник В окружность вписан правильный восьмиугольник. Найдите величину угла MNK.

В правильном восьмиугольнике все стороны и все углы равны. Каждый внутренний угол правильного восьмиугольника равен $$\frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$$.

Угол MNK опирается на дугу MK, которая составляет 3/8 окружности (так как между точками M и K две вершины: N отсутствует). Значит, центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен $$\frac{3}{8} \cdot 360^\circ = 135^\circ$$.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, угол MNK равен $$\frac{1}{2} \cdot 135^\circ = 67.5^\circ$$.

Ответ: 135