Задача со звёздочкой. Диагональ AC равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и BC является биссектрисой угла BAD. а) Докажите, что AB = BC. б) Найдите периметр трапеции, если угол BAD равен 60°, а BC = 8 см.

а) Так как \(AD\parallel BC\), то \(\angle DAC=\angle ACB\) как накрест лежащие. По условию \(AC\) — биссектриса угла \(BAD\), следовательно, \(\angle BAC=\angle DAC\). Значит, \(\angle BAC=\angle ACB\), и в треугольнике \(ABC\) против равных углов лежат равные стороны: \(AB=BC\).

б) При \(\angle BAD=60°\) из свойства биссектрисы получаем \(\angle BAC=30°\). По параллельности оснований \(\angle ACB=\angle DAC=30°\), поэтому \(\angle ABC=120°\). Треугольник \(ABC\) равнобедренный, а его боковые стороны равны \(BC=AB=8\) см. Угол \(BAC=30°\), значит по теореме синусов \(AC=8\sqrt{3}\) см.

Поскольку трапеция равнобокая, \(CD=AB=8\) см. В треугольнике \(ACD\): \(\angle CAD=30°\), а \(\angle ADC=180°-\angle BAD=120°\), поэтому \(\angle ACD=30°\). Следовательно, \(AD=CD=8\) см.

Периметр: \(P=AB+BC+CD+AD=8+8+8+8=32\) см.

Ответ: а) \(AB=BC\); б) 32 см.