Задача 14. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Обозначим основания трапеции a = 4 и b = 8. Угол между боковой стороной и основанием равен 45°. Высоту трапеции можно найти, используя тангенс этого угла.

Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Тогда больнее основание разделится на три отрезка: x, a, x, где a - меньшее основание трапеции, а x - отрезки, образованные высотами. Тогда длина большего основания равна a + 2x, следовательно:$$b = a + 2x$$

Найдем x:$$8 = 4 + 2x$$$$2x = 4$$$$x = 2$$

Высоту h можно найти, используя тангенс угла 45°:$$tg(45°) = \frac{h}{x}$$Так как tg(45°) = 1, то $$h = x = 2$$

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$Подставим значения a = 4, b = 8 и h = 2 в формулу:

$$S = \frac{4 + 8}{2} \cdot 2 = \frac{12}{2} \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$$

Ответ: 12