* Задача 2. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, где $$AD = 8$$, $$BC = 4$$, и угол между боковой стороной и основанием $$ \angle BAD = 45^\circ$$.

Проведем высоту $$BH$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ угол $$ \angle BAH = 45^\circ$$, следовательно, $$\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Таким образом, треугольник $$ABH$$ равнобедренный, и $$BH = AH = 2$$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$$.

Подставляем известные значения: $$S = \frac{4 + 8}{2} \cdot 2 = \frac{12}{2} \cdot 2 = 12$$.

Ответ: 12