* Задача 1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

Привет!

Давай решим эту задачу вместе! Обозначим скорость велосипедиста из A в B как \(v\) (км/ч). Тогда время, затраченное на путь из A в B, равно \(\frac{180}{v}\) часов. На обратном пути скорость велосипедиста стала \(v + 5\) км/ч, и он сделал остановку на 3 часа. Время, затраченное на обратный путь, равно \(\frac{180}{v+5} + 3\) часов. Так как время в пути туда и обратно одинаково, мы можем составить уравнение:

\[\frac{180}{v} = \frac{180}{v+5} + 3\]

Умножим обе части уравнения на \(v(v+5)\) для избавления от дробей:

\[180(v+5) = 180v + 3v(v+5)\]

Раскроем скобки:

\[180v + 900 = 180v + 3v^2 + 15v\]

Приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону:

\[3v^2 + 15v - 900 = 0\]

Разделим обе части на 3:

\[v^2 + 5v - 300 = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D\):

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225\]

Найдем корни уравнения:

\[v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15\] \[v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20\]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \(v = 15\) км/ч. Это скорость из A в B. Нам нужно найти скорость из B в A, которая равна \(v + 5\).

\[v + 5 = 15 + 5 = 20\]

Ответ: 20

Ура! Мы успешно решили задачу! Не останавливайся на достигнутом, и все обязательно получится!