552. (Задача-исследование.) Решите уравнения: a) $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ и $$6x^2 - 5x + 1 = 0$$; б) $$2x^2 - 13x + 6 = 0$$ и $$6x^2 - 13x + 2 = 0$$. 1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а дру- гая задание б). 2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотно- шении между корнями уравнений $$ax^2 + bx + c = 0$$ и $$cx^2 +$$ + $$bx + a = 0$$. 3) Докажите, что ваше предположение верно.

a) $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$ $$6x^2 - 5x + 1 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$$ $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{12} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{12} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ б) $$2x^2 - 13x + 6 = 0$$ $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121$$ $$x_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{4} = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$$ $$x_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{4} = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$6x^2 - 13x + 2 = 0$$ $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 - 48 = 121$$ $$x_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{12} = \frac{13 + 11}{12} = \frac{24}{12} = 2$$ $$x_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{12} = \frac{13 - 11}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$ 1) Выше 2) Если $$x_1$$ и $$x_2$$ корни уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$, то $$\frac{1}{x_1}$$ и $$\frac{1}{x_2}$$ корни уравнения $$cx^2 + bx + a = 0$$. 3) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ корни уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$. Тогда по теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ $$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$ Корни уравнения $$cx^2 + bx + a = 0$$ равны $$y_1$$ и $$y_2$$. Тогда по теореме Виета: $$y_1 + y_2 = -\frac{b}{c}$$ $$y_1y_2 = \frac{a}{c}$$ Пусть $$y_1 = \frac{1}{x_1}$$ и $$y_2 = \frac{1}{x_2}$$, тогда $$y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{c}$$ $$y_1y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1x_2} = \frac{1}{\frac{c}{a}} = \frac{a}{c}$$ То есть $$y_1 = \frac{1}{x_1}$$ и $$y_2 = \frac{1}{x_2}$$ являются корнями уравнения $$cx^2 + bx + a = 0$$. Ответ: а) $$x_1 = 3$$, $$x_2 = 2$$ и $$x_1 = \frac{1}{2}$$, $$x_2 = \frac{1}{3}$$; б) $$x_1 = 6$$, $$x_2 = \frac{1}{2}$$ и $$x_1 = 2$$, $$x_2 = \frac{1}{6}$$; 2) Если $$x_1$$ и $$x_2$$ корни уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$, то $$\frac{1}{x_1}$$ и $$\frac{1}{x_2}$$ корни уравнения $$cx^2 + bx + a = 0$$; 3) Доказано.