552. (Задача-исследование.) Решите уравнения: a) x² - 5х + 6 = 0 и 6х² - 5x + 1 = 0; б) 2x² - 13x + 6 = 0 и 6х² - 13x + 2 = 0. 1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б). 2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений ах² + bx + c = 0 и сх²+ bx + a = 0. 3) Докажите, что ваше предположение верно.

Решим квадратные уравнения:

а)

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

$$6x^2 - 5x + 1 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{1}{3}$$

б)

$$2x^2 - 13x + 6 = 0$$

$$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121$$

$$x_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 11}{4} = 6$$

$$x_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 11}{4} = \frac{1}{2}$$

$$6x^2 - 13x + 2 = 0$$

$$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 - 48 = 121$$

$$x_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 11}{12} = 2$$

$$x_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 11}{12} = \frac{1}{6}$$

2) Если корни первого уравнения $$x_1$$ и $$x_2$$, то корни второго уравнения $$\frac{1}{x_1}$$ и $$\frac{1}{x_2}$$.

3) Доказательство:

Пусть корни уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда, по теореме Виета, $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ и $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$.

Рассмотрим уравнение $$cx^2 + bx + a = 0$$. Разделим обе части уравнения на $$x^2$$ (т.к. $$x = 0$$ не является корнем уравнения):

$$c + b \cdot \frac{1}{x} + a \cdot \frac{1}{x^2} = 0$$

$$a \cdot (\frac{1}{x})^2 + b \cdot \frac{1}{x} + c = 0$$

Пусть $$y = \frac{1}{x}$$. Тогда уравнение принимает вид: $$ay^2 + by + c = 0$$. Значит, $$y_1 = \frac{1}{x_1}$$ и $$y_2 = \frac{1}{x_2}$$.

Ответ: а) корни первого уравнения 3 и 2, второго уравнения 1/2 и 1/3; б) корни первого уравнения 6 и 1/2, второго уравнения 2 и 1/6; если корни первого уравнения $$x_1$$ и $$x_2$$, то корни второго уравнения $$\frac{1}{x_1}$$ и $$\frac{1}{x_2}$$.