Задание 7: Дано: плоскости α и β перпендикулярны. Найти угол между прямой AB и плоскостью β.

Обозначим угол между прямой AB и плоскостью β как угол ∠ABA₁. Поскольку плоскости α и β перпендикулярны, а B₁A перпендикулярна плоскости α, то треугольник ABA₁ является прямоугольным с прямым углом при вершине A₁. Дано: AA₁ = 2√3, A₁B₁ = 6, ∠ABA₁ = 30°. Мы хотим найти угол между прямой AB и плоскостью β, то есть ∠ABA₁. В прямоугольном треугольнике ABA₁: $$\tan(\angle ABA_1) = \frac{AA_1}{A_1B_1}$$ $$\tan(\angle ABA_1) = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\angle ABA_1 = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = 30°$$ Ответ: 30°