Задание 3. К окружности с центром О проведена касательная АВ (А - точка касания). Найдите радиус окружности, если ОВ = 10 см и ∠ABO = 30°.

По условию, AB - касательная к окружности с центром O, и A - точка касания. Значит, радиус OA перпендикулярен касательной AB, и угол OAB равен 90 градусам. $$ \angle OAB = 90^\circ $$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB. В нем известна гипотенуза OB = 10 см и угол ABO = 30 градусов. Нужно найти катет OA, который является радиусом окружности.

Используем синус угла ABO: $$ \sin(\angle ABO) = \frac{OA}{OB} $$.

Тогда $$ OA = OB \cdot \sin(\angle ABO) = 10 \cdot \sin(30^\circ) $$.

Так как $$ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $$, то $$ OA = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 $$.

Ответ: 5 см