Задание 4: Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 68°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Давайте решим эту задачу вместе. 1. **Поймем ситуацию:** У нас есть окружность с центром в точке O. Из точки вне окружности проведены две касательные к окружности в точках A и B. Угол между касательными равен 68°. Нужно найти угол ABO. 2. **Вспомним свойства касательных:** Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, углы OAO и OBO - прямые углы, то есть равны 90°. 3. **Рассмотрим четырехугольник:** Рассмотрим четырехугольник OAB. В нем угол OAB равен 90°, угол OBA равен 90°, а угол между касательными равен 68°. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. 4. **Найдем угол AOB:** Угол AOB можно найти вычитанием из 360° суммы остальных трех углов: $$AOB = 360 - (90 + 90 + 68) = 360 - 248 = 112°$$ 5. **Рассмотрим треугольник AOB:** Треугольник AOB - равнобедренный, так как OA и OB - радиусы окружности и, следовательно, равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, угол OAB равен углу OBA. 6. **Найдем углы OAB и OBA:** Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°. Угол AOB равен 112°. Значит, сумма углов OAB и OBA равна: $$OAB + OBA = 180 - 112 = 68°$$ Так как OAB = OBA, то каждый из этих углов равен: $$OBA = 68 / 2 = 34°$$ **Ответ:** Угол ABO равен 34°.