Задание 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см. Найдите длину окружности, диаметром которой является медиана, проведенная к гипотенузе.

Решение: По теореме Пифагора найдем гипотенузу прямоугольного треугольника: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты. $$c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$$ см. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $$m = \frac{c}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ см. Диаметр окружности равен медиане, следовательно, $$d = m = 10$$ см. Радиус окружности $$R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ см. Длина окружности $$C = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$$ см. Ответ: Длина окружности равна $$10\pi$$ см.