Задание 1. Площадь квадрата равна S. Найдите: a) длину описанной окружности; б) длину дуги, стягиваемой стороной квадрата; в) площадь части описанного круга, лежащей вне квадрата.

Решение: a) Длина описанной окружности: Обозначим сторону квадрата как $$a$$. Тогда площадь квадрата $$S = a^2$$, следовательно, $$a = \sqrt{S}$$. Диагональ квадрата равна $$d = a\sqrt{2} = \sqrt{S} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2S}$$. Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата: $$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2S}}{2}$$. Длина описанной окружности равна $$C = 2\pi R = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2S}}{2} = \pi \sqrt{2S}$$. б) Длина дуги, стягиваемой стороной квадрата: Окружность, описанная около квадрата, имеет центр в точке пересечения диагоналей квадрата. Дуга, стягиваемая стороной квадрата, соответствует центральному углу в $$90^\circ$$ или $$\frac{\pi}{2}$$ радиан. Длина дуги $$l = R \theta$$, где $$R$$ - радиус окружности, $$\theta$$ - угол в радианах. $$l = \frac{\sqrt{2S}}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi \sqrt{2S}}{4}$$. в) Площадь части описанного круга, лежащей вне квадрата: Площадь описанного круга равна $$A_{circle} = \pi R^2 = \pi \cdot (\frac{\sqrt{2S}}{2})^2 = \pi \cdot \frac{2S}{4} = \frac{\pi S}{2}$$. Площадь части круга, лежащей вне квадрата, равна разности площади круга и площади квадрата: $$A = A_{circle} - S = \frac{\pi S}{2} - S = S(\frac{\pi}{2} - 1)$$. Ответ: а) Длина описанной окружности: $$\pi \sqrt{2S}$$. б) Длина дуги, стягиваемой стороной квадрата: $$\frac{\pi \sqrt{2S}}{4}$$. в) Площадь части описанного круга, лежащей вне квадрата: $$S(\frac{\pi}{2} - 1)$$.