Задание 2. На окружности с центром О отмечены две точки M и N так, что угол MON прямой. Отрезок NP - диаметр окружности. Докажите, что хорды MN и MP равны. Найдите угол PMN.

Дано: Окружность с центром O, точки M и N на окружности, \(\angle MON = 90^{\circ}\), NP - диаметр. Доказать: MN = MP Найти: \(\angle PMN\) Доказательство: 1. Т.к. NP - диаметр, то \(\angle NMP = 90^{\circ}\) (угол, опирающийся на диаметр - прямой). 2. Рассмотрим \(\triangle MON\): \(\angle MON = 90^{\circ}\), следовательно, \(\triangle MON\) - прямоугольный. Т.к. OM = ON (радиусы), то \(\triangle MON\) - равнобедренный. Тогда \(\angle OMN = \angle ONM = (180^{\circ} - 90^{\circ}) / 2 = 45^{\circ}\). 3. Рассмотрим \(\triangle NMP\): \(\angle NMP = 90^{\circ}\). По теореме Пифагора: \(NP^2 = NM^2 + MP^2\). 4. Выразим NM из \(\triangle MON\): по теореме Пифагора: \(MN^2 = OM^2 + ON^2 = R^2 + R^2 = 2R^2\), где R - радиус окружности. 5. Т.к. NP = 2R (диаметр), то \(NP^2 = (2R)^2 = 4R^2\). Тогда \(4R^2 = 2R^2 + MP^2\), следовательно, \(MP^2 = 2R^2\), значит, \(MP = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}\). Т.к. \(MN = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}\), то \(MN = MP\). 6. В \(\triangle NMP\): \(MN = MP\), следовательно, \(\triangle NMP\) - равнобедренный, и \(\angle MNP = \angle MPN\). Т.к. \(\angle NMP = 90^{\circ}\), то \(\angle MNP = \angle MPN = (180^{\circ} - 90^{\circ}) / 2 = 45^{\circ}\). Найдем \(\angle PMN\): \(\angle PMN = \angle NMP = 45^{\circ}\) Ответ: \(\angle PMN = 45^{\circ}\) **Развернутый ответ:** Задача состоит из геометрической части, где требуется доказать равенство двух хорд, и вычислительной части, где нужно найти угол. Сначала доказываем, что треугольник MON равнобедренный и прямоугольный, находим углы при основании. Затем, рассматривая треугольник NMP, который является прямоугольным (т.к. NP - диаметр), доказываем, что он также равнобедренный, а следовательно, углы при основании равны 45 градусам. В итоге, угол PMN равен 45 градусам.