Задание 1: На прямой а расположены стороны AC и A1C1 треугольников ABC и A1B1C1 (вершины B и B1 находятся по одну сторону от a). AB = A1B1, AC = A1C1, ∠BAC = ∠B1A1C1. Докажите, что BC || B1C1.

**Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). 2. По условию, \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\), и \(\angle BAC = \angle B_1A_1C_1\). 3. Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 4. Из равенства треугольников следует, что \(\angle ABC = \angle A_1B_1C_1\) и \(\angle ACB = \angle A_1C_1B_1\). 5. Пусть продолжение отрезка (B_1A_1) пересекает прямую а в точке D и продолжение отрезка (C_1A_1) пересекает прямую а в точке E. Тогда (∠BAC = ∠B_1A_1C_1) - это вертикальные углы, которые равны. Положим, что (∠BAC = ∠B_1A_1C_1 = α). 6. Теперь рассмотрим углы, которые BC и B1C1 образуют с прямой а. (∠BCA = ∠B_1C_1A_1 = β). Следовательно, (∠BCA = ∠B_1C_1E = β). 7. Поскольку углы (ACB) и (A_1C_1B_1) равны, то прямые (BC) и (B_1C_1) либо параллельны, либо совпадают. 8. Однако, по условию, вершины (B) и (B_1) находятся по одну сторону от прямой а. Следовательно, прямые (BC) и (B_1C_1) параллельны. **Что и требовалось доказать: (BC \parallel B_1C_1)** **Объяснение для учеников:** В этой задаче мы использовали первый признак равенства треугольников (СУС) для доказательства равенства треугольников \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Затем, из равенства треугольников, мы сделали вывод о равенстве соответствующих углов. Наконец, равенство углов позволило нам доказать параллельность прямых (BC) и (B_1C_1\). Представь, что у тебя есть два совершенно одинаковых треугольника, и они расположены так, что одна из сторон каждого треугольника лежит на одной прямой. Тогда, если соединить концы других сторон этих треугольников, то эти линии будут параллельны друг другу.