Задание 17. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $$3\sqrt{11}$$.

Для решения этой задачи нам потребуется формула объема пирамиды: $$V = \frac{1}{3}S_{осн}h$$, где $$S_{осн}$$ – площадь основания, $$h$$ – высота пирамиды. 1. Найдем площадь основания: Основание – квадрат со стороной 6, значит, $$S_{осн} = 6^2 = 36$$. 2. Найдем высоту пирамиды: * Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. * Диагональ основания $$d$$ равна $$6\sqrt{2}$$, следовательно, половина диагонали равна $$3\sqrt{2}$$. * По теореме Пифагора найдем высоту $$h$$: $$h^2 + (3\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{11})^2$$ $$h^2 + 18 = 99$$ $$h^2 = 81$$ $$h = 9$$ 3. Найдем объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} * 36 * 9 = 12 * 9 = 108$$ Ответ: 108