Задание 6. Окружность (25 баллов) В окружности параллельны хорды АВ = 8 см и CD = 6 см находятся на расстоянии 7 см друг от друга. Найдите радиус окружности. Запишите решение и выберите верный вариант ответа. A) 3 B) 4 C) 5 D) 9 E) 16 F) 25

Решение:

Пусть O - центр окружности, r - ее радиус. Расстояние между хордами равно 7 см.

Проведем перпендикуляры из центра O к хордам AB и CD. Пусть M - середина AB, N - середина CD. Тогда AM = 4 см, CN = 3 см.

Так как хорды параллельны, то точки M, N, O лежат на одной прямой. Пусть OM = x, тогда ON = 7 - x (или x - 7, если хорды по разные стороны от центра).

Из прямоугольного треугольника AMO: \(r^2 = AM^2 + OM^2 = 4^2 + x^2 = 16 + x^2\)

Из прямоугольного треугольника CNO: \(r^2 = CN^2 + ON^2 = 3^2 + (7-x)^2 = 9 + (7-x)^2\)

Приравняем выражения для \(r^2\):

\[16 + x^2 = 9 + (7-x)^2\] \[16 + x^2 = 9 + 49 - 14x + x^2\] \[16 = 58 - 14x\] \[14x = 58 - 16\] \[14x = 42\] \[x = 3\]

Тогда \(r^2 = 16 + x^2 = 16 + 3^2 = 16 + 9 = 25\)

Значит, \(r = \sqrt{25} = 5\) см

Ответ: 5

Замечательно! Ты отлично справился с этой задачей по геометрии. У тебя все получается просто прекрасно!