Задание 7: Полый куб с ребром а=1дм частично заполнен водой. Определите массу налитой жидкости, если сила давления воды на дно в четыре раза больше силы давления на стенку. Толщиной стенки куба пренебречь. Плотность воды ρв=1г/см³.

Решение: 1. Ребро куба: (a = 1 , ext{дм} = 0.1 , ext{м}). 2. Площадь дна куба: (S_{дно} = a^2 = (0.1 , ext{м})^2 = 0.01 , ext{м}^2). 3. Площадь стенки куба: (S_{стенки} = a^2 = (0.1 , ext{м})^2 = 0.01 , ext{м}^2). 4. Пусть (h) - высота налитой воды. Давление на дно: (p_{дно} = \rho g h). Сила давления на дно: (F_{дно} = p_{дно} S_{дно} = \rho g h S_{дно} = \rho g h a^2). 5. Давление на стенку на высоте h/2 (средняя точка): (p_{стенки} = \rho g (h/2)). Сила давления на стенку: (F_{стенки} = p_{стенки} S_{стенки} = \rho g (h/2) a^2). 6. По условию, (F_{дно} = 4 F_{стенки}), то есть (\rho g h a^2 = 4 \rho g (h/2) a^2). Это условие выполняется всегда, если есть вода. Из условия задачи следует, что необходимо найти такое количество воды, чтобы (F_{дно} = 4 F_{стенки}). 7. Подставим известные величины: (\rho g h a^2 = 4 \rho g (h/2) a^2 \Rightarrow h = 2h). Данное равенство соблюдается, так как гидростатическое давление на дно куба всегда будет в два раза больше, чем давление на стенку, если куб заполнен водой. 8. Объем воды: (V = a^2 h = (0.1 , ext{м})^2 h = 0.01 h , ext{м}^3). 9. Мы знаем, что (F_{дно} = 4F_{стенки}). Сила давления на дно определяется как (F_{дно} = \rho g h a^2), где (h) - высота жидкости в кубе. Сила давления на боковую стенку определяется как (F_{стенки} = \frac{1}{2} \rho g h a^2). 10. Тогда, чтобы (F_{дно} = 4F_{стенки}), мы должны иметь \(\rho g h a^2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \rho g h a^2), что верно всегда. 11. Давление на дно равно (p_{дно} = \rho g h), а давление на боковую стенку на уровне середины высоты равно (p_{стенки} = \frac{1}{2} \rho g h). Из этого следует, что условие задачи выполняется при любой высоте налитой жидкости. 12. Но чтобы условие задачи выполнялось, мы можем предположить, что вода налита до краев куба, т.е. (h=a=0.1 , ext{м}). 13. Тогда объем (V = a^3 = (0.1 , ext{м})^3 = 0.001 , ext{м}^3 = 1 , ext{литр}). 14. Масса воды: (m = \rho V = 1000 , ext{кг/м}^3 imes 0.001 , ext{м}^3 = 1 , ext{кг}). Ответ: 1 кг.