Задание 6. Прямая y=3x+7 является касательной к графику функции f(x)=2x²-17х+с. Найдите с.

Прямая y = 3x + 7 является касательной к графику функции f(x) = 2x² - 17x + c. Найдите c.

Для решения задачи используем условие касания: если прямая y = kx + b является касательной к графику функции f(x) в точке x₀, то должны выполняться следующие условия:

1. f(x₀) = kx₀ + b (значения функции и касательной в точке касания равны)
2. f'(x₀) = k (производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной)

В нашем случае, k = 3, b = 7, f(x) = 2x² - 17x + c.

Находим производную функции f(x):

f'(x) = 4x - 17

Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной:

4x₀ - 17 = 3

Решаем уравнение относительно x₀:

4x₀ = 20

x₀ = 5

Теперь, когда мы нашли x₀, подставляем его в исходную функцию и уравнение касательной:

f(5) = 2(5)² - 17(5) + c = 50 - 85 + c = -35 + c

y(5) = 3(5) + 7 = 15 + 7 = 22

Приравниваем значения функции и касательной в точке касания:

-35 + c = 22

Решаем уравнение относительно c:

c = 22 + 35

c = 57

Ответ: 57