Задание 16: Радиус вписанной в квадрат окружности равен $$6\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Пусть $$r$$ – радиус вписанной окружности, а $$R$$ – радиус описанной окружности. Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата: $$r = \frac{a}{2}$$ Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна $$a\sqrt{2}$$, поэтому: $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ Выразим $$a$$ из первого уравнения: $$a = 2r$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$R = \frac{2r\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$$ По условию $$r = 6\sqrt{2}$$. Тогда: $$R = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12$$ Ответ: 12