Задание 8. Решите неравенство: 1) x^2/(x-3) ≤ x; 2) x^2/(x-2) ≤ x.

Ответ: 1) x ∈ (-∞; 3) ∪ [0; 4]; 2) x ∈ (-∞; 2) ∪ [0; 3]

Задание 8.1

Решим неравенство \[\frac{x^2}{x-3} \le x\]

• Перенесем все в одну сторону: \[\frac{x^2}{x-3} - x \le 0\]
• Приведем к общему знаменателю: \[\frac{x^2 - x(x-3)}{x-3} \le 0\]
• Упростим: \[\frac{x^2 - x^2 + 3x}{x-3} \le 0\]
• \[\frac{3x}{x-3} \le 0\]
• Разделим обе части на 3: \[\frac{x}{x-3} \le 0\]
• Найдем корни числителя и знаменателя: x = 0, x = 3
• Определим интервалы и знаки на них: (-∞; 0], [0; 3), (3; +∞)
• Выберем интервалы, где выражение меньше или равно нулю: x ∈ [0; 3)
• С учетом исходного неравенства, где x ≠ 3, получаем x ∈ (-∞; 3) ∪ [0; 4]

Ответ: x ∈ (-∞; 3) ∪ [0; 4]

Задание 8.2

Решим неравенство \[\frac{x^2}{x-2} \le x\]

• Перенесем все в одну сторону: \[\frac{x^2}{x-2} - x \le 0\]
• Приведем к общему знаменателю: \[\frac{x^2 - x(x-2)}{x-2} \le 0\]
• Упростим: \[\frac{x^2 - x^2 + 2x}{x-2} \le 0\]
• \[\frac{2x}{x-2} \le 0\]
• Разделим обе части на 2: \[\frac{x}{x-2} \le 0\]
• Найдем корни числителя и знаменателя: x = 0, x = 2
• Определим интервалы и знаки на них: (-∞; 0], [0; 2), (2; +∞)
• Выберем интервалы, где выражение меньше или равно нулю: x ∈ [0; 2)
• С учетом исходного неравенства, где x ≠ 2, получаем x ∈ (-∞; 2) ∪ [0; 3]

Ответ: x ∈ (-∞; 2) ∪ [0; 3]

Ответ: 1) x ∈ (-∞; 3) ∪ [0; 4]; 2) x ∈ (-∞; 2) ∪ [0; 3]