Задание 16: Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинается с единицы.)

Пусть на каждом этаже $$n$$ квартир. Тогда в одном подъезде $$7n$$ квартир. Квартира №462 находится в седьмом подъезде, значит, до этого было 6 подъездов, то есть $$6 \cdot 7n = 42n$$ квартир. Таким образом, квартира №462 является $$(42n + 1)$$-ой, $$(42n + 2)$$-ой, ..., $$(42n + 7n)$$-ой в доме. Значит, номер квартиры можно представить в виде $$462 = 42n + k$$, где $$1 \le k \le 7n$$. $$462 = 42n + k$$ $$462 = 42n + k$$, где $$k$$ - это номер квартиры в 7-ом подъезде. Разделим 462 на 42, получим $$462 \div 42 = 11$$. То есть $$462 = 42 \cdot 11 + 0$$. Это означает, что $$462 = 42n + k$$, где $$n = 11$$. Тогда количество квартир в одном подъезде $$7n = 7 \cdot 11 = 77$$. Значит, $$k = 462 - 42 \cdot 11 = 0$$. Но $$k$$ должно быть от 1 до 77. Значит $$n$$ не может быть 11. Попробуем представить 462 как $$462 = 42n + k$$ и будем подбирать n. В каждом подъезде 7 этажей. По условию все этажи имеют одинаковое количество квартир. То есть n кратно 7. Пусть $$n=6$$, тогда $$42*6=252$$. Значит, $$k = 462-252 = 210$$. Так как максимум в подъезде 42 квартиры, то не подходит. Пусть $$n=10$$, тогда $$42*10=420$$. Значит, $$k = 462-420 = 42$$. Так как максимум в подъезде 70 квартир (7 этажей по 10 квартир), то подходит. Теперь 42 квартира в 7 подъезде. 42/10 = 4.2 . Так как нумерация с 1, то это 5 этаж. Ответ: **5**