Задание 9. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$, где $$H_0 = 8$$ м - начальный уровень воды, $$a = \frac{1}{162}$$ м/мин$$^2$$ и $$b = -\frac{4}{9}$$ м/мин. - постоянные, $$t$$ - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.

Для решения задачи необходимо найти, когда высота столба воды в баке станет равна нулю, то есть $$H(t) = 0$$. Таким образом, нам нужно решить квадратное уравнение: $$\frac{1}{162}t^2 - \frac{4}{9}t + 8 = 0$$ Умножим обе части уравнения на 162, чтобы избавиться от дробей: $$t^2 - 72t + 1296 = 0$$ Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта или заметить, что это полный квадрат: $$(t - 36)^2 = 0$$ Отсюда следует, что: $$t = 36$$ Таким образом, вода будет вытекать из бака в течение 36 минут.